وجود و ‎چندگانگی‎ جوابهای مثبت برای رده ای از معادلات و دستگاه های بیضوی

ابتدا تعاریف و مفاهیمی را که در این رساله مورد استفاده قرار می گیرد را بیان می کنیم. سپس به معرفی فضاهایی می پردازیم که با آن ها سر و کار خواهیم داشت. و‎‎‎‎‎ در پایان به معرفی چند قضیه و اصل می پردازیم. رده ای از دستگاه های بیضوی شبه خطی تباهیده ‎egin{equation*}‎ ‎left{egin{array}{ll}‎ -‎div (h_1 (x)| abla u|^{p-2} abla u )=lambda a(x)|u|^{p-2}u‎ +‎lambda b(x)|u|^{alpha-1}|v|^{eta+1}u+f_u(x,u,v)‎ ‎‎ -‎div (h_2 (x)| abla v|^{q-2} abla v)=lambda d(x)|v|^{q-2}v‎ +‎lambda b(x)|u|^{alpha+1}|v|^{eta-1}v+f_v(x,u,v)‎ ‎end{array} ight‎. ‎end{equation*}‎ با شرط مرزی دیریکله در دو حالت مختلف ، بر اساس توان های ‎$ heta$‎, ‎$delta$‎، ‎egin{equation*}‎ ‎frac{ heta+1}{p}+frac{delta+1}{q}<1;‎ ‎end{equation*}‎ ‎egin{equation*}‎ frac{ heta+1}{p}+frac{delta+1}{q}>1~~~~~ extrm{و}~~~~frac{ heta+1}{p^*}+frac{delta+1}{q^*}<1. ‎end{equation*}‎ مورد بررسی قرار می دهیم. از روش های تغییراتی برای به دست آوردن جواب استفاده می کنیم. نتایج وجودی و چندگانگی برای دستگاه های ‎$(p,q)$‎ - لاپلاسین ‎egin{equation}‎ ‎left{egin{array}{ll}‎ ‎delta_pu=|u|^{p-2}u-f_u(x,u,v)+h_1(x) ‎ ‎delta_qv=|v|^{q-2}u-f_v(x,u,v)+h_2(x) ‎ ‎end{array} ight‎. ‎end{equation}‎ با شرط مرزی غیرخطی ‎egin{equation*}| abla u|^{p-2}frac{partial u}{partial u}=lambda a(x)|u|^{p-2}u‎, ~‎~~~| abla v|^{q-2}frac{partial v}{partial u}=mu‎ ‎b(x)|v|^{q-2}v‎ ‎end{equation*}‎ با استفاده از اصل تغییراتی ایکلند، قضیه مسیر کوهی و قضیه نقطه ی بحرانی به دست می آید. مساله مقدار مرزی ‎egin{equation}label{1.1}‎ ‎left{egin{array}{ll}‎ -‎delta_p u(x)+lambda|u(x)|^{p-2}u(x)=f(x,u(x)) & xin omega‎ ‎u(x) = 0 & xin partial omega‎ ‎end{array} ight‎. ‎end{equation}‎ که ‎$delta_p$‎ عملگر ‎p-‎لاپلاسین و ‎$omega in c^{0,1}$‎ یک ناحیه کراندار در ‎$r^n$‎ است.